Node-Max-Cut and the Complexity of Equilibrium in Linear Weighted Congestion Games

In this work, we seek a more refined understanding of the complexity of local optimum computation for Max-Cut and pure Nash equilibrium (PNE) computation for congestion games with weighted players and linear latency functions. We show that computing a PNE of linear weighted congestion games is PLS-complete either for very restricted strategy spaces, namely when player strategies are paths on a series-parallel network with a single origin and destination, or for very restricted latency functions, namely when the latency on each resource is equal to the congestion. Our results reveal a remarkable gap regarding the complexity of PNE in congestion games with weighted and unweighted players, since in case of unweighted players, a PNE can be easily computed by either a simple greedy algorithm (for series-parallel networks) or any better response dynamics (when the latency is equal to the congestion). For the latter of the results above, we need to show first that computing a local optimum of a natural restriction of Max-Cut, which we call Node-Max-Cut, is PLS-complete. In Node-Max-Cut, the input graph is vertex-weighted and the weight of each edge is equal to the product of the weights of its endpoints. Due to the very restricted nature of Node-Max-Cut, the reduction requires a careful combination of new gadgets with ideas and techniques from previous work. We also show how to compute efficiently a (1+?)-approximate equilibrium for Node-Max-Cut, if the number of different vertex weights is constant

A Submodular Approach for Electricity Distribution Network Reconfiguration

Distribution network reconfiguration (DNR) is a tool used by operators to balance line load flows and mitigate losses. As distributed generation and flexible load adoption increases, the impact of DNR on the security, efficiency, and reliability of the grid will increase as well. Today, heuristic-based actions like branch exchange are routinely taken, with no theoretical guarantee of their optimality. This paper considers loss minimization via DNR, which changes the on/off status of switches in the network. The goal is to ensure a radial final configuration (called a spanning tree in the algorithms literature) that spans all network buses and connects them to the substation (called the root of the tree) through a single path. We prove that the associated combinatorial optimization problem is strongly NP-hard and thus likely cannot be solved efficiently. We formulate the loss minimization problem as a supermodular function minimization under a single matroid basis constraint, and use existing algorithms to propose a polynomial time local search algorithm for the DNR problem at hand and derive performance bounds. We show that our algorithm is equivalent to the extensively used branch exchange algorithm, for which, to the best of our knowledge, we pioneer in proposing a theoretical performance bound. Finally, we use a 33-bus network to compare our algorithm\u27s performance to several algorithms published in the literature

Congestion Games: Stochastic Extensions and Techniques for Reducing the Price of Anarchy

The subject of this thesis is the theoretical analysis and generalization of congestion games models and it aims to provide a study on methods for reducing the Price of Anarchy and a study related to stochastic extensions of congestion games and in which extend the Price of Anarchy may be affected within them. First, the literature that relates mostly to the problems studied is presented and rightafter an extensive presentation of the results of the thesis follows. The problem of finding or approximating the best subnetwork in bottleneck routing games is studied. Although the corresponding problem in additive costs congestion games is almost fully understood, for the problem studied here, the existing results hold for more general games and in fact are much weaker than the ones presented here. For the simplest version of this problem, via a complex reduction, an NP hardness results for finding or approximating the best subnetwork of the underlying network is proved: it is NP hard to approximate the best subnetwork by a factor less than O(n^0.121) (where n is the number of nodes of the network). In the positive side it is proven that in some subclasses of these games the paradox does not appear at all and also it is given an approximation algorithm for some cases where the NP hardness reductions cannot apply. Results that have to do with Braess paradox in additive costs congestion games are presented. Prior to the work presented here, it has been proved that if the underlying network of a congestion game is a random Erdos-Renyi graph then with high probability it suffers from Braess Paradox. Here, it is proven that the problem of finding the best subnetwork in such random networks can be essentially reduced to the problem of finding the best subnetwork of a network belonging to the simplest class of graphs that may suffer from the paradox. Using a very recent result from the theory of probabilities, it is given a polynomial approximation algorithm for finding best subnetworks in such networks. Then, the expansion properties of Erdos-Renyi graphs are used and an approximately good subnetwork for the initial network is drawn.By slightly changing direction, the basic properties of congestion games with uncertain delays and risk averse users are studied. The classic formulation of congestion games ignores uncertainty in delays that arises in many real life situations. Modelling the cause of uncertainty in delays, two orthogonal models are introduced, one with stochastic players, where each players participates in the game with a given probability and thus the actual delay on the edges that players choose gets uncertain, and another with stochastic edges where each edge, with a given probability, may ‘‘fail’’ and provide greater delay to the players using it. For the arising classes of games, the existence of pure Nash equilibrium and potentials and the behaviour of the price of anarchy is studied. Uniting the above directions, a new way for improving the price of anarchy in congestion games with uncertain delays and risk averse users is given. More specifically, it is shown that if one can insert uncertainty in the edges of the network in a way that the expected cost of those edges remains the same, then, because of the risk aversion of the players, these edges become less attractive for the players. Thus, the price of anarchy may improve as more players may turn to edges that the optimal solution would choose for them. The arising algorithmic problem relates to congestion games with restricted tolls and results can also be drawn from there. In this thesis Karush-Kuhn-Tucker conditions are closely followed and there are given results that give a better and ‘‘less cheap’’ use of extra uncertainty and provide better insight of the improvement in the price of anarchy.Το αντικείμενο της διατριβής είναι η θεωρητική ανάλυση και γενίκευση μοντέλων παιγνίων συμφόρησης, με στόχο την μελέτη μεθόδων μείωσης του Τιμήματος της Αναρχίας και τη μελέτη στοχαστικών επεκτάσεων των παιγνίων συμφόρησης με παράλληλη έρευνα του κατά πόσο μπορούν αυτές να επηρεάσουν, είτε θετικά είτε αρνητικά, το Τίμημα της Αναρχίας. Αρχικά, παρουσιάζονται βασικά στοιχεία της βιβλιογραφίας που έχουν άμεση σχέση με τα προβλήματα που μελετήθηκαν και στην συνέχεια ακολουθεί μια εκτεταμένη παρουσίαση των αποτελεσμάτων της εργασίας. Παρουσιάζονται αποτελέσματα που αφορούν το παράδοξο του Braess σε παίγνια συμφόρησης όπου το κόστος κάθε παίκτη ισούται με το κόστος της πιο ακριβής ακμής (ακμή συμφόρησης) που χρησιμοποιεί και το κόστος του δικτύου ισούται με το κόστος της πιο ακριβής ακμής που χρησιμοποιείται. Μελετάται το πρόβλημα εύρεσης έστω και προσεγγιστικά καλύτερου υποδικτύου σε τέτοιου είδους παίγνια. Παρότι το αντίστοιχο πρόβλημα σε παίγνια με προσθετικά κόστη είχε κατηγοριοποιηθεί από πλευράς χρονικής πολυπλοκότητας για το εν λόγω πρόβλημα υπήρχαν κάποια αποτελέσματα μόνο για γενικεύσεις του και μάλιστα αρκετά πιο ασθενή από αυτά που παρουσιάζονται στην διατριβή. Για την πιο απλή εκδοχή του προβλήματος, μέσω μιας σύνθετης αναγωγής, αποδεικνύονται αποτελέσματα δυσκολίας στην προσέγγιση του καλύτερου υποδικτύου: είναι ΝΡ-δύσκολο το πρόβλημα εύρεσης έστω και Ο(n^0.121) προσεγγιστικά καλού υποδικτύου (όπου n ο αριθμός κόμβων δικτύου). Παράλληλα καταδεικνύονται δύο υποκατηγορίες τέτοιων παιγνίων που δεν πάσχουν καθόλου από το παράδοξο ενώ δίνεται ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος για την περιπτώσεις δικτύων όπου η αναγωγή της απόδειξης της ΝΡ-δυσκολίας δεν μπορεί να εφαρμοστεί.Παρουσιάζονται, επίσης, αποτελέσματα που έχουν να κάνουν με το παράδοξο του Braess σε παίγνια συμφόρησης με προσθετικά κόστη. Για τέτοιου είδους παίγνια επάνω σε Erdos-Renyi τυχαίους γράφους (ως υποκείμενα δίκτυα) έχει αποδειχτεί ότι με μεγάλη πιθανότητα εμφανίζεται το παράδοξο του Braess. Στην εργασία αυτή, το πρόβλημα εύρεσης καλύτερου υποδικτύου σε τέτοιου είδους παίγνια, διαισθητικά ανάγεται σε πρόβλημα εύρεσης καλύτερου υποδικτύου σε παίγνια όπου το υποκείμενο δίκτυο ανήκει στην πιο απλή οικογένεια υποδικτύων που θα μπορούσαν να πάσχουν από το παράδοξο, με την δυσκολία εύρεσης καλύτερου υποδικτύου σε τέτοια δίκτυα να παραμένει άγνωστη. Χρησιμοποιώντας ένα πολύ πρόσφατο αποτέλεσμα από τη θεωρία πιθανοτήτων, δίνεται ένας πολυωνυμικός αλγόριθμος προσέγγισης του καλύτερου υποδικτύου σε τέτοια δίκτυα και ακολούθως, χρησιμοποιώντας τις επεκτατικές ιδιότητες των Erdos-Renyi γράφων, άγεται ένα προσεγγιστικά καλό υποδίκτυο του αρχικού δικτύου.Σε λίγο διαφορετική κατεύθυνση, μελετώνται τα βασικά χαρακτηριστικά παιγνίων συμφόρησης με αβεβαιότητα στις ακμές και παίκτες ευαίσθητους στο ρίσκο. Η κλασική μοντελοποίηση των παιγνίων συμφόρησης αγνοεί την αβεβαιότητα στις ακμές που ενυπάρχει σε αρκετές περιπτώσεις της καθημερινότητας. Μοντελοποιώντας την αιτία της αβεβαιότητας στα κόστη των ακμών, στην εργασία, ορίζονται δύο "ορθογώνια" μοντέλα, ένα με στοχαστικούς παίκτες, όπου οι παίκτες συμμετέχουν ή όχι στο παίγνιο με δεδομένη πιθανότητα και άρα η πραγματική συμφόρηση για τις ακμές που επιλέγουν αποκτά τυχαιότητα, και ένα με στοχαστικές ακμές, όπου οι ακμές δύνανται με κάποια πιθανότητα να έχουν "μη-κανονική" συμπεριφορά και να προσδίδουν μεγαλύτερη καθυστέρηση κατά την χρήση τους. Σε αυτά τα παίγνια γίνεται μελέτη ως προς την ύπαρξη σημείων ισορροπίας και συναρτήσεων δυναμικού ενώ μελετάται και η συμπεριφορά του τιμήματος της αναρχίας.Ενοποιώντας τις δύο κατευθύνσεις, στην εργασία δίδεται ένας νέος τρόπος βελτίωσης του τιμήματος της αναρχίας σε παίγνια με αβεβαιότητα στις ακμές και παίκτες ευαίσθητους στο ρίσκο. Πιο συγκεκριμένα, δείχνεται ότι αν είναι δυνατή η προσθήκη επιπλέον αβεβαιότητας σε επιλεγμένες ακμές με τρόπον ώστε να μην αλλάζει το αναμενόμενο κόστος τους, τότε, λόγω της ευαισθησίας των παικτών στο ρίσκο, αυτές οι ακμές γίνονται λιγότερο προτιμητέες από τους παίκτες και συνεπώς το τίμημα της αναρχίας δύναται να βελτιωθεί λόγω της στροφής των παικτών προς ακμές που η βέλτιστη λύση θα επέλεγε για αυτούς. Το πρόβλημα που ορίζεται προς αυτή την κατεύθυνση μοιάζει με την περιορισμένη χρήση διοδίων σε δίκτυα και αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν από εκεί. Στην εργασία δίνονται αποτελέσματα που προσπαθώντας να ακολουθήσουν τις Karush Kuhn Tucker συνθήκες βελτιστότητας δίνουν μια "οικονομικότερη" και καλύτερη διαχείριση της αβεβαιότητας και παρέχουν καλύτερη διαίσθηση για την προκύπτουσα βελτίωση του τιμήματος της αναρχίας

Network Pricing: How to Induce Optimal Flows Under Strategic Link Operators

Network pricing games provide a framework for modeling real-world settings with two types of strategic agents: operators of a network and users of the network. Operators of the network post a price so as to attract users and maximize profit; users of the network select routes based on these prices and congestion from other users. Motivated by the fact that equilibrium in these games may not exist, may not be unique, and may induce an inefficient network performance, our main result is to observe that a simple regulation on the network owners’ market solves these three issues. Specifically, if an authority could set appropriate caps (upper bounds) on the tolls (prices) operators can charge, then the game among the link operators has a unique and strong Nash equilibrium and the users’ game results in a Wardrop equilibrium that achieves the optimal total delay. We call any price vector with these properties a great set of tolls and investigate the efficiency of great tolls with respect to the users’ surplus. We derive a bicriteria bound that compares the users’ surplus under great tolls with the users’ surplus under optimal tolls. Finally, we consider two different extensions of the model. First, we assume that operators face operating costs that depend on the amount of flow on the link, for which we prove existence of great tolls. Second, we allow operators to own more than one link. In this case, we prove that, when operators own complementary links (i.e., links for which an increase in toll value may only increase the flow on the other owned links), any toll vector that induces the optimal flow and that is upper bounded by the marginal tolls is a great set of tolls, and furthermore, we show that, when all links in the network are complementary, then the aforementioned toll vector is also a strong cap equilibrium

No-regret learning and mixed Nash equilibria: They do not mix

International audienceUnderstanding the behavior of no-regret dynamics in general N-player games is a fundamental question in online learning and game theory. A folk result in the field states that, in finite games, the empirical frequency of play under no-regret learning converges to the game's set of coarse correlated equilibria. By contrast, our understanding of how the day-today behavior of the dynamics correlates to the game's Nash equilibria is much more limited, and only partial results are known for certain classes of games (such as zero-sum or congestion games). In this paper, we study the dynamics of follow the regularized leader (FTRL), arguably the most well-studied class of no-regret dynamics, and we establish a sweeping negative result showing that the notion of mixed Nash equilibrium is antithetical to no-regret learning. Specifically, we show that any Nash equilibrium which is not strict (in that every player has a unique best response) cannot be stable and attracting under the dynamics of FTRL. This result has significant implications for predicting the outcome of a learning process as it shows unequivocally that only strict (and hence, pure) Nash equilibria can emerge as stable limit points thereof